在时下热门影片《流浪地球2》描绘的“流浪地球计划”中，一个关键的节点是借助木星来让地球加速到足以离开太阳系。1月27日，《张朝阳的物理课》第一百一十八期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳就这个话题，为广大网友带来了一节别开生面的物理课。课上张朝阳首先回顾了上一次直播课中关于洛希极限的讨论，并指出在地月系统靠近的过程中，地球强大的引力作用会显著改变月球的几何形状，从而不能再把月球看作刚体球，而应当讨论作为流体的月球和对应的洛希极限，月球实际解体的位置会比刚体模型的情况更远。随后他通过角动量守恒定理和能量守恒定律，化简了行星运动的轨道方程，并得到了方程的解。最后他讲解了引力弹弓的物理原理，并讨论了通过引力弹弓来加速的条件。

引力弹弓的应用实例：旅行者号

引力弹弓并非是科幻电影中的奇妙畅想，事实上这是一项早已实现，而且在航天事业中相当重要的技术。早在20世纪初期，就有苏联科学家提出，对于行星间的航行，可以利用行星卫星的万有引力来实现对航天器的速度控制。到了1959年，苏联航天器月球三号首次应用了这项技术。而最为知名的，当属1977年美国航空航天局(NASA)的旅行者计划。当时在美国航空航天局喷气推进实验室(NASA，JPL)工作的Gary Flandro发现了太阳系几个气体巨行星(木星、土星、天王星和海王星)的罕见排列，这一发现极大地推进了旅行者号的任务进程。在该任务中，共有两架航天器旅行者1号和旅行者2号被送出了地球，通过精心设计的轨道，它们造访了太阳系中的四颗气体巨行星，并借用引力弹弓加速来摆脱太阳的引力束缚，前往神秘的星际空间。直到今天，在旅行者们发射后的45年后，它们已经离开了太阳系，但仍然保留着部分机能。至此文撰写时，旅行者1号仍是人类第一个离开太阳系的飞行器，在距离太阳150.02天文单位的地方，它是距离地球最遥远的人造物体，向着蛇夫座方向前进。

在每架旅行者飞船上，都携带着一张铜质磁碟唱片，包含了55种人类语言录制的问候语和音乐，试图向可能的“外星人”传达来自人类的友好问候。唱片也记载着地球自然界的声音，能够代表人类当时知识水平、技术信息和人类的形象。当时的人们把自己文明的代表刻印其上，让旅行者们带往太阳系以外的地方。也许在未来，人类文明消失于地球，这些唱片仍默默记录着人类在这个宇宙留下的痕迹。

行星的圆轨道运动

张朝阳以行星围绕太阳的圆周运动作为热身。在理想情况下，行星们仅受到太阳的万有引力做匀速圆周运动，其向心力完全由引力提供。因此按照牛顿第二定律与万有引力定律，立即可以写出

方程中m为行星质量，M为太阳质量，v代表行星做匀速圆周运动的线速度，而r代表行星的轨道半径。我们这里将行星视作质点。求解方程立即给出

这个结果告诉我们行星的线速度反比于到太阳距离的平方根，与之对应的，我们有行星的角速度：

它随着距离衰减得比线速度更快。我们也感兴趣于行星相对太阳的角动量大小，注意在匀速圆周运动中，速度矢量时刻和太阳与行星的连线垂直，因此有

可见它正比于距离的平方根。定性地，轨道半径越大，角动量就也越大。之前我们介绍月球在地球上引起的潮汐和地月系统角动量传递时就曾讨论过，这个特性会使得月球逐渐远离地球。

普遍的行星轨道

接下来开始讨论普遍的行星运动。在这里我们选择柱坐标系来进行讨论。作为简化，我们考虑太阳质量远远大于行星的情况。太阳固定于坐标原点，而行星的位置由柱坐标(r,θ,z)给出。在太阳引起的引力场中，行星的动力学方程可以写为

但我们并不打算直接求解这个矢量微分方程，而是考虑这个体系的守恒律。首先我们有角动量守恒，这一点可以从有心力场引起的力矩上看出：

这导致L = mr×v是一个常数。因此速度矢量v和位置矢量r两者总在同一个平面上，我们正选择这个平面作为z=0的坐标平面。有了这个性质，我们立即可以写出普遍情况下速度应当拥有的形式

其中上方标有一点的r和θ分别表示它们对时间的导数，即dr/dt和dθ/dt。注意速度的z方向分量总为0。接下来要考察的守恒律是能量守恒，这一点可以通过在动力学方程两边点乘位置矢量随时间的微小变化dr看到：

这里我们使用了作为保守力场的引力满足的条件：

而在过去的讨论中我们已经证明了对于坐标的函数，总有df(r) = ∇f⋅dr。因此我们能够写出

将速度表达式带入上面两个守恒律中，我们得到如下的关于r,θ作为时间t的函数的微分方程组：

引入a = L/m，我们从中消去dθ/dt，得到只含r,dr/dt的方程为

如果我们只关心轨道方程，即作为θ的函数的r(θ)，那么我们需要使用链式法则来将dr/dt重写为作为r关于θ的导数r'，事实上有

将之带入到前面的方程，我们就有了关于r作为θ函数的微分方程：

或者通过变量替换y = 1/r来将方程重写为

一个非线性方程通常情况下是难以求解的。在这里，我们可以通过猜测解的形式的待定系数法来进行求解。方程中同时出现y和y'的同次项启发我们引入三角函数来试探，不妨设解拥有形式

注意我们总是可以通过重新规定极轴来消除cos(θ+θ0)中的偏置，从而我们简单令θ0=0。将此形式带入方程，并整理各个系数，我们得到

这个方程若对任意θ成立，那只能是cosθ前面系数为0。因此我们给出了未知系数A,B的值为

或者写出最终的轨道方程

这是一条圆锥曲线的方程。同时由于在θ=0时，r(θ)取得其最小值，因此事实上我们是将极轴取为圆锥曲线的对称轴，极点是最靠近圆锥曲线的焦点。

行星轨道的讨论

有了行星轨道的一般方程，我们的知识储备就允许我们讨论行星轨道的几何性质。一般地，圆锥曲线的行为取决于A和B的相对大小，有如下三种可能性：

A < B，此时分母A cosθ+B总是大于零的，这使得θ在任何值时r(θ)都有限，对应于椭圆轨道。

A = B，此时在θ = π时分母为0。定性地，这意味着在θ靠近π时r将变得任意大，这对应着抛物线轨道。

A > B，此时在θ < π时分母就可能为0，其临界值由A,B确定，代表了渐近线的方向。从而对应着双曲线轨道。

对于双曲线轨道，我们能够给出渐近线对应的角方向。如果令其补角为β，则有

注意2β事实上就是双曲线的两条渐近线在双曲线这一侧所成的角度。

引力弹弓

有了天体运动的双曲线轨道的相关知识，张朝阳开始带领网友讨论引力弹弓的问题。可能会有人对引力弹弓过程感到困惑不解：明明双曲线运动有着能量守恒的要求，入射和出射速度大小总是一样的，为什么可以用来加速呢？其中的奥妙正在于目标行星自身的速度。在行星参考系中探测器，如旅行者1号，受行星引力做双曲线运动，而在太阳参考系中，其离开行星的速度和接近行星的速度完全可以不一样。而且这个过程也并未违反能量守恒定律：行星自身的机械能是加速的来源，只是因为二者质量差距过于悬殊，提取出的能量相对行星自身是很小的。

张朝阳选择旅行者1号在借助木星引力加速的过程来分析引力弹弓效应。在太阳参考系中，令旅行者1号在该过程的初始速度为v1，木星自身速度为vp，完成引力弹弓效应后旅行者1号的速度为v2。那么在木星的平动参考系中：由于过程发生的时间相比木星做圆周运动的时间是很短的，且由于极悬殊的质量差距，我们可以近似认为木星在整个过程里做匀速直线运动。那么相对木星对应的两个速度应为(使用带撇的量表示)

在木星参考系中的探测器-木星体系机械能守恒给出

我们关心何种情况下v2的大小大于v1的大小，从而实现了加速过程。有

我们可以将关于vp的一次项系数都整理为带撇的矢量，及相对木星的速度，从而有

这个结果对应着什么呢?我们知道v2',v1'是一对大小相等、方向平行于双曲线轨道渐近线的矢量，从而(v2'-v1')矢量正是双曲线的对称轴，从其顶点指向其焦点的方向。这意味着一旦这个方向和行星自身速度矢量vp所夹角δ为锐角，则由于

最终有v2^2>v1^2实现加速过程。几何上，如果让v1'矢量和vp矢量所夹角为α，前面计算双曲线轨道中的参数β=arccos(B/A)，那么角δ正是

同样的，如果δ为一钝角，引力弹弓过程自然也可以被用于减速。按照几何关系，我们有

从而这给我们带来最终的表达式

实际航天计划里，通过合理选择β为一个较小的角度，通过|v2'-v1'|得到了一个较大的贡献。这样能够令航天器获取到相当大的速度提升，进而实现一个高效的加速过程。在实际的旅行者1号计划里边，分析NASA的数据可以得到α=113.66°,β=40.89°，木星速度大小为|vp| ≈ 13 km/s，旅行者1号的入射速度大小为|v1| ≈ 13.2 km/s，相对速度大小近似为|v1'| ≈ 11 km/s，有兴趣的读者可以使用今天的知识来推测旅行者1号离开木星时候的速度。这里给出NASA提供的官方数据，其值接近于|v2| ≈ 23.6 km/s。计算结果可能略高于这个数值，原因在于以上计算忽略了克服太阳引力的损失和速度数据并未取在无穷远而导致能量偏大。

(图中横轴为到太阳的距离，纵轴代表速度。蓝线为旅行者1号相对太阳的速度大小和同太阳的距离之间的关系，红线则为对应距离下对太阳的逃逸速度。可以看到旅行者1号在5个天文单位和10个天文单位附近分别借助了木星与土星的引力弹弓来加速。)

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频。此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。